Bayes-Denken: Einschätzungen mit neuen Informationen anpassen

Welche drei Zahlen brauchst du?

Fehlt eine dieser drei Größen, lässt sich die Aussagekraft eines Signals nicht beurteilen.

Gesucht ist eine vierte Zahl, die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit: Wie oft steckt hinter einem Alarm ein Ausfall? Die Trefferquote fragt in die Gegenrichtung, vom Ausfall zum Alarm.

MerksatzDie Trefferquote beschreibt den Test. Wie oft ein Alarm stimmt, hängt zusätzlich von der Basisrate ab.

Was ist Basisraten-Vernachlässigung?

Wer die Basisrate übergeht, behandelt die Trefferquote wie die gesuchte Antwort. Tversky und Kahneman fassten 1981 zusammen, dass Basisraten bei Urteilen über Einzelfälle oft vernachlässigt oder untergewichtet werden.

Ihr bekanntes Beispiel ist die Taxi-Aufgabe. In einer Stadt sind 85 Prozent der Taxis grün und 15 Prozent blau. Ein Zeuge, der Farben zu 80 Prozent richtig erkennt, meldet ein blaues Taxi.

Nach der Bayes-Regel ist das Taxi nur mit rund 41 Prozent blau, also eher grün. Die häufigste Antwort lautete trotzdem 80 Prozent, die Zuverlässigkeit des Zeugen. Ohne Zeugenaussage nutzten die Befragten die Basisrate von 15 Prozent dagegen korrekt.

Ähnlich lief eine Aufgabe von Casscells und Kollegen (1978): Krankheit bei 1 von 1.000 Menschen, 5 Prozent Fehlalarme. Fast die Hälfte der Befragten antwortete 95 Prozent, richtig wären rund 2 Prozent. Wie du die Grundrate für Planzahlen findest, zeigt die Seite Prognosen.

Warum helfen natürliche Häufigkeiten?

Gerd Gigerenzer und Ulrich Hoffrage zeigten 1995 in der Psychological Review, dass die Rechnung in Häufigkeiten einfacher wird. Statt drei Prozentwerte zu verknüpfen, zählst du Fälle. Ihr Beispiel: Von 1.000 Menschen sind 10 erkrankt, 8 davon haben einen positiven Befund.

Von den 990 Gesunden haben 95 ebenfalls einen positiven Befund. Ein positiver Befund trifft also in 8 von 103 Fällen zu, rund 8 Prozent.

In ihrer ersten Studie lösten 60 Salzburger Studenten ohne Training 15 solcher Aufgaben. Im Wahrscheinlichkeitsformat rechneten sie in 16 Prozent der Fälle nach Bayes, im Häufigkeitsformat in 46 Prozent.

Natürliche Häufigkeiten zweigen alle aus einer Ausgangsgruppe ab: 10.000 Kunden, davon 200 Ausfälle, davon 180 markiert. Relative Häufigkeiten halfen in einer zweiten Studie mit 15 Konstanzer Studenten nicht mehr als Wahrscheinlichkeiten.

Hoffrage und Kollegen (2000) gaben 27 angehenden Richtern und 127 Jurastudierenden Fallakten mit DNA-Befund. Mit Wahrscheinlichkeiten urteilten 13 Prozent der Profis richtig, mit natürlichen Häufigkeiten 68 Prozent. Bei den Studenten stieg der Anteil von unter 1 auf 44 Prozent.

Auch das Urteil änderte sich: Die Schuldsprüche der Profis sanken von 45 auf 32 Prozent.

Streit um die Erklärung

Barbey und Sloman (2007) führen den Vorteil auf die sichtbar verschachtelten Teilmengen zurück. Gigerenzer und Hoffrage halten das für eine Umformulierung ihrer eigenen Gleichungen. Beide Seiten stützen dieselbe Praxis: Zeige alle Fälle als Zweige einer einzigen Ausgangsgruppe.

Wie rechnest du ein Frühwarnsignal im Häufigkeitsbaum?

Der Häufigkeitsbaum zeigt Sabine: Nur etwa jeder sechste Alarm betrifft einen späteren Ausfall.

Schritt 1: Ausgangsgruppe wählen. Sabine denkt sich 10.000 Kunden. Bei einer Basisrate von 2 Prozent fallen 200 davon innerhalb eines Jahres aus, 9.800 zahlen.

Schritt 2: Treffer zählen. Von den 200 späteren Ausfällen markiert das System 90 Prozent, also 180. Zwanzig Ausfälle rutschen durch.

Schritt 3: Fehlalarme zählen. Von den 9.800 zahlenden Kunden markiert es 10 Prozent, also 980. Insgesamt gibt es damit 1.160 Alarme.

Schritt 4: Ablesen. Von 1.160 Alarmen sind 180 echt, das sind 15,5 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall ist durch den Alarm von 2 auf rund 16 Prozent gestiegen.

Das Risiko hat sich fast verachtfacht, trotzdem zahlen rund fünf von sechs markierten Kunden. Umgekehrt sinkt das Risiko ohne Alarm auf 20 von 8.840, rund 0,2 Prozent.

Der zweite Hinweis

Sabine sucht einen zweiten Hinweis: Hat der Kunde sein Zahlungsziel um mehr als 30 Tage überschritten? Nach den Daten der Vorjahre trifft das auf die Hälfte der späteren Ausfälle zu. Bei zahlenden Kunden kommt es in 5 Prozent der Fälle vor.

Ihr neuer Ausgangspunkt sind die 1.160 markierten Kunden. Von den 180 echten Fällen zeigen 90 den Verzug, von den 980 Fehlalarmen 49. Mit Verzug läge das Risiko bei 90 von 139, rund 65 Prozent.

Sabines Kunde hat aber pünktlich gezahlt. Ohne Verzug bleiben 90 echte Fälle unter 1.021 Kunden, rund 9 Prozent.

Die Kette trägt nur, wenn der zweite Hinweis neue Information liefert. Nutzt das Frühwarnsystem den Zahlungsverzug bereits selbst, zählt Sabine denselben Befund doppelt (Ergänzung von T1Leaders).

Ergebnis. Die Kreditlinie bleibt bestehen, das Limit wird vorerst nicht erhöht. Sabine fordert den aktuellen Jahresabschluss an und legt die Wiedervorlage auf drei Monate.

Ob eine Sperre bei 9 Prozent Risiko lohnt, beantwortet Bayes allein nicht. Dafür wiegt Sabine den möglichen Forderungsausfall gegen den Verlust eines guten Kunden ab, etwa mit dem Erwartungswert.

Was zeigt die Forschung zur Anpassung von Überzeugungen?

Wie Menschen Überzeugungen nach neuen Informationen ändern, untersucht die Forschung zu belief revision. Die folgenden Studien zeigen typische Abweichungen von der Bayes-Regel.

Jörg Rieskamp ist seit 2008 Professor für Wirtschaftspsychologie an der Universität Basel und leitet dort das Center for Economic Psychology. Mit Rebecca Albrecht, Mirjam Jenny und Håkan Nilsson veröffentlichte er 2021 ein Ähnlichkeitsmodell für Wahrscheinlichkeitsurteile und deren Revision.

Das Modell erklärt unter anderem den Verdünnungseffekt: Informationen ohne Aussagekraft senken ein Wahrscheinlichkeitsurteil. In vier Experimenten beschrieb es die Urteile besser als ein bayesianisches Vergleichsmodell.

Aydogan und Kollegen (2025) fanden in einem Experiment zwei Abweichungen von Bayes. Teilnehmer deuteten 19 Prozent der Signale um, die ihrer Vorannahme widersprachen. Zusätzlich passten sie so zögerlich an, als hätten sie 28 Prozent der Signale übersehen.

Der erste Befund entspricht dem Confirmation Bias. Der zweite heißt Konservatismus: Neue Belege bewegen die Einschätzung zu wenig.

Rheinberger und Hammitt (2018) ließen 987 französische Verbraucher ihr Erkrankungsrisiko durch Fischverzehr vor und nach einer Information schätzen. 817 passten ihre Schätzung an. Rund ein Viertel ignorierte die Information ganz oder passte im Widerspruch zur Bayes-Logik an.

• Trefferquote für Treffsicherheit halten. „Erkennt 90 Prozent der Ausfälle“ sagt nichts darüber, wie viele Alarme stimmen. Frag nach der Fehlalarmrate.
• Die falsche Vergleichsgruppe wählen. Die Basisrate aller Kunden passt schlecht zu einem Kunden aus einer Krisenbranche. Wähle die Gruppe, die deinem Fall am ähnlichsten ist.
• Nur belastende Hinweise einrechnen. Pünktliche Zahlungen senken das Risiko genauso, wie ein Verzug es erhöht. Rechne entlastende Befunde mit ein.
• Beim ersten Wert stehen bleiben. Nach Aydogan und Kollegen passen Menschen oft zu zögerlich an. Lass das Ergebnis eines Schritts zum Startwert des nächsten werden.

Die Rechnung ist nur so gut wie ihre drei Zahlen.

• Neue Lagen ohne Vergleichsfälle: Für ein neues Produkt oder einen neuen Markt fehlt eine belastbare Basisrate. Hier hilft die Unterscheidung Risiko oder Unsicherheit.
• Unbekannte Fehlerquoten: Viele Anbieter nennen nur die Trefferquote. Ohne Fehlalarmrate bleibt die Rechnung offen.
• Viele abhängige Hinweise: Die Studien von Gigerenzer und Hoffrage betreffen eine Hypothese und einen Hinweis. Bei vielen verknüpften Signalen helfen einfache Entscheidungsbäume wie Fast-and-Frugal Trees.
• Kosten der Fehler: Die Wahrscheinlichkeit allein sagt nicht, was zu tun ist. Ein übersehener Ausfall und ein verprellter Kunde kosten unterschiedlich viel.

1. Ereignis genau benennen. Schreib auf, was du vorhersagen willst, mit Zeitraum, etwa „Zahlungsausfall innerhalb von zwölf Monaten“.
2. Basisrate suchen. Zähl in einer passenden Vergleichsgruppe, wie oft das Ereignis vorkommt. Notiere die Quelle.
3. Trefferquote und Fehlalarmrate erfragen. Lass dir beide Werte schriftlich geben, möglichst aus eigenen Daten des letzten Jahres.
4. Häufigkeitsbaum zeichnen. Starte mit 1.000 oder 10.000 Fällen und teile sie Ast für Ast auf.
5. Anteil echter Alarme ablesen. Teile die Treffer durch alle Alarme. Vergleiche das Ergebnis mit der Basisrate.
6. Nächsten Hinweis anschließen. Nimm das Ergebnis als neuen Startwert und prüfe, ob der Hinweis unabhängig vom ersten ist.
7. Nachhalten. Zähle nach einem Jahr, wie viele Alarme eingetreten sind, und aktualisiere die Quoten.

Häufige Fragen