Erwartungswert und Wahrscheinlichkeiten bei Entscheidungen

Wie berechnest du den Erwartungswert?

Du listest für jede Option die möglichen Ergebnisse auf. Jedes Ergebnis bekommt eine Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeiten einer Option ergeben zusammen eins. Dann multiplizierst du jedes Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst die Produkte.

Ein Bild aus dem Alltag: Ein Losstand verkauft Lose für 2 Euro. Unter 100 Losen ist ein Gewinn von 50 Euro. Der Erwartungswert eines Loses liegt bei 50 Euro geteilt durch 100, also 50 Cent. Abzüglich des Preises verlierst du im Durchschnitt 1,50 Euro pro Los. Wer trotzdem kauft, tut es für den Spaß oder den guten Zweck.

Kerstin hat für das Bieten zwei mögliche Ergebnisse. Sie gewinnt den Auftrag und verdient 60.000 Euro minus 8.000 Euro Angebotskosten, also 52.000 Euro. Oder sie verliert und trägt die 8.000 Euro. Nicht bieten bringt sicher null Euro.

Wie schätzt du Wahrscheinlichkeiten?

Eine gute Grundlage sind eigene Zahlen aus ähnlichen Fällen. Wie oft hast du in der Vergangenheit unter vergleichbaren Bedingungen Erfolg gehabt? Fehlen eigene Zahlen, helfen Branchenwerte oder die Einschätzung mehrerer Personen, die unabhängig voneinander schätzen.

Kerstin schaut in ihre Unterlagen. In den letzten fünf Jahren hat sie sich an 20 öffentlichen Ausschreibungen beteiligt und vier gewonnen. Das ist jede fünfte. Ihr Meister hat also recht, dass sie selten gewinnt. Ob sich das Bieten trotzdem lohnt, zeigt erst die Rechnung.

Bleib dabei ehrlich. Bei einem Auftrag, der dir besonders gefällt, neigst du dazu, die Chance höher einzuschätzen. Wie gut Menschen Wahrscheinlichkeiten treffen, erklärt Prognosen richtig nutzen. Ob sich überhaupt eine Wahrscheinlichkeit schätzen lässt, klärt Risiko oder Unsicherheit?.

MerksatzSchätz aus eigenen Zahlen, bevor du dem Gefühl vertraust.

Was zeigt der Rechner im Beispiel?

Der Rechner zeigt den Erwartungswert beider Optionen, den schlechtesten Fall und den Kippwert. Bei Kerstin fällt das Ergebnis klar aus: Bieten lohnt sich im Durchschnitt, obwohl sie meistens verliert.

Werte frei gewählt zur Veranschaulichung.

Der Erwartungswert von 4.000 Euro bedeutet nicht, dass Kerstin bei dieser Ausschreibung 4.000 Euro verdient. Sie verdient entweder 52.000 Euro oder verliert 8.000 Euro. Die 4.000 Euro beschreiben den Durchschnitt, wenn sie viele ähnliche Ausschreibungen mitmacht. Das tut sie: Die Tischlerei bietet jedes Jahr mehrfach. Deshalb passt die Rechnung gut.

Aufschlussreich ist der Kippwert. Erst wenn Kerstin seltener als bei jeder siebten bis achten Ausschreibung gewinnen würde, lohnt sich das Bieten im Durchschnitt nicht mehr. Ihre eigene Quote liegt deutlich darüber. Mit mehreren Stufen, etwa einer Nachverhandlung nach dem Zuschlag, wird die Rechnung zum Entscheidungsbaum.

Kerstin entscheidet sich zu bieten. Sie legt aber eine Grenze fest: Steigen die Angebotskosten bei einer Ausschreibung deutlich über 8.000 Euro, rechnet sie neu. Und sie sammelt ihre Quote weiter, damit die Schätzung mit jedem Jahr belastbarer wird. Ihr Meister ist nicht überzeugt, aber er sieht die Zahlen. Häufig zu verlieren und trotzdem im Durchschnitt zu gewinnen, fühlt sich zunächst widersprüchlich an.

MerksatzDer Erwartungswert ist ein Durchschnitt über viele Fälle. Er passt besonders gut, wenn du dieselbe Entscheidung oft triffst.

• Einmalige Entscheidungen: Wer nur einmal bietet, erlebt keinen Durchschnitt. Dann zählt der schlechteste Fall mehr.
• Verluste, die nicht tragbar sind: Ein positiver Erwartungswert hilft wenig, wenn ein einzelner Verlust das Unternehmen in Gefahr bringt.
• Geratene Wahrscheinlichkeiten: Ohne Daten wird aus der Rechnung eine Scheingenauigkeit. Rechne mit einer Spanne und prüf, ob die Entscheidung innerhalb der Spanne gleich bleibt.
• Verluste wiegen schwerer: Menschen empfinden Verluste meist stärker als gleich große Gewinne. Das beschrieben Kahneman und Tversky 1979. Die Rechnung kennt diesen Unterschied nicht.
• Organisationale Grenze: Wunschzahlen. In manchen Unternehmen wird die Wahrscheinlichkeit so lange angepasst, bis die gewünschte Option vorn liegt. Schutz im Prozess: Schätzungen kommen aus eigenen Quoten oder von mehreren Personen unabhängig, und der Kippwert steht immer mit in der Vorlage.

1. Optionen und Ergebnisse auflisten, alle in derselben Einheit und nach Abzug aller Kosten.
2. Wahrscheinlichkeiten schätzen, am besten aus eigenen Zahlen ähnlicher Fälle.
3. Erwartungswert jeder Option rechnen: Ergebnis mal Wahrscheinlichkeit, dann addieren.
4. Schlechtesten Fall daneben schreiben und fragen, ob du ihn tragen kannst.
5. Kippwert bestimmen: Ab welcher Wahrscheinlichkeit dreht sich die Entscheidung? Wie die Modelle dahinter entstanden sind, erklärt die Entscheidungstheorie.

Häufige Fragen